В выражениях ступеней множеств, как известно, используются знаки, обозначающие базисные множества шкалы множеств, знаки, обозначающие декартианы и булеаны от базисных множеств, скобки разных форматов и цифровые индексы.

Число знаков ступени множеств определяется суммой числа базисных множеств и чисел повторения каждого из них, числа применения знаков декартиана и булеана и числа скобок.

В теоретических и прикладных работах, ведущихся с 1973 года, а также дипломных работах, защищаемых с 1992 года, используется аппарат родов структур (у Н. Бурбаки – структур), в котором ступени множеств используются для типизации родов структур. Если считать в одной написанной вручную или напечатанной компьютерной строке 20 знаков всех видов, а число строк на странице А4 – 20, то максимальные выражения одной ступени множеств на 2-х – 3-х страницах имели 400 – 600 знаков. Такие рода структур образовывались при 5-ти – 8-ми уровневом синтезе терминальной родоструктурной теории интересующей предметной области. Читать полученное выражение и объяснять предметную интерпретацию любой целостной его части мог только автор синтеза, а читать его через месяц-другой могли только единицы из авторов.

Но такие ступени множеств получались для относительно упрощенных экспликаций предметных областей, для которых было достаточно определить 10 –15 –20 базисных множеств. Как показал В.А. Лелюк, полная родоструктурная экспликация в ступенях среднего промышленного предприятия требует 600 базисных множеств. В блестящей работе В.А. Курилова[2], выпускника МФТИ 1983 г., в общепонятных (неформальных) терминах в форме художественно исполненных графов представлены понятия картины мира, человека, формулы счастья, общество, экономика, социально-экономическая сфера, интеллектуальное предприятие, проблемы России, что делать, механизм работы головного мозга, выращивание дерева знаний – всего 96 графов, содержащих более двух тысяч базисных понятий. Выражение типизирующей ступени множеств в этих случаях займет 30 – 50 страниц. Его никто и никогда не сможет прочитать и понять.

Эта проблема была известна давно, и делались разнообразные попытки ее решить. Предлагалось размер знаков выражения терминальной ступени множеств увеличивать на заметную величину по мере удаления от знаков базисных множеств или использовать различные шрифты и цвета. Предполагалось, что решением этой проблемы может стать разделение по многим страницам частей этого выражения с их предметными интерпретациями, но это не дало решения.

Как известно, операция взятия булеана от множества в терминах предметной области может интерпретироваться как дифференциация элементов множества. Операция взятия декартиана от одного множества или группы множеств в терминах предметной области может интерпретироваться как интеграция элементов одного или нескольких множеств: группе элементов ставится в соответствие один элемент вновь образованного множества.

Аппарат графов, обладающий многими достоинствами по сравнению с математическими аппаратами благодаря предоставляемой им наглядности, малоэффективен при представлении ступеней множеств. Это происходит из-за того, что выразительные средства графа – вершина и дуга – не позволяют различать операции взятия булеана и декартиана.

Основная идея аппарата М-графов, использующего ориентированные графы, и состоит в том, что он дает наглядное представление о различии дифференциации и интеграции:

-        дифференциация образует из одного множества одно другое множество,

-        интеграция образует из нескольких множеств одно множество.

В М-графах одна вершина обозначает одно множество, а одна дуга обозначает одну операцию – либо взятие булеана, либо взятие декартиана. Но при взятии булеана одной вершине всегда ставится в соответствие одна вершина, а при взятии декартиана многим вершинам всегда ставится в соответствие одна вершина.

Поэтому ступень множества, какие бы масштабы и сложность ступени ни были, легко и безошибочно читается:

Идея М-графов принадлежит к.ф.-м.н., директору корпорации «МетаСинтез» Наталье Константиновне Никитиной.

Эта корпорация многократно применяла аппарат М-графов в теоретических и прикладных работах.

Очевидно, однако, что для представления предметных областей, эксплицируемых сотнями или тысячами базисных множеств, ступени которых имеют сотни или тысячи уровней синтеза, аппарата М-графов недостаточно.

Идея способа эффективного наглядного представления таких графов, называемых «гиперграфами» (термин предложен С.П. Никаноровым) была впервые предложена американской корпорацией «Буз, Ален и Гамильтон» в середине 50-х годов прошлого века при создании гигантской сети атомных подводных лодок, вооруженных ракетами с атомными боеголовками. Эта система называлась «Поларис» и была направлена против Советского Союза.

Эта система создавалась 12-уровневой корпорацией научных, проектных и промышленных организаций, фирм, поставляющих сырье, испытательных полигонов, военных учебных заведений и включала многие тысячи организаций, были вовлечены сотни тысяч специалистов.

Опасность для США считалась столь страшной, что работы велись день и ночь, требовалось точное, жесткое управление. Для такого управления упомянутая корпорация создала компьютерную систему PERT-Programm valiation and review techniques, Метод обзора и оценки программы. Эта система использовала метризованный ориентированный граф типа сети, в котором вершины назывались «событиями», а дуги – «работами». Она охватывала всю корпорацию, и сеть постоянно обновлялась. Сеть содержала десятки тысяч событий, которые как целое, конечно, рассмотреть никто не мог. Поэтому был использован метод укрупнения сети по уровням управления.

Высшему руководителю проекта представлялась сеть, содержащая 20 –30 событий. Если одно событие опаздывало, то эта вершина его графа раскрывалась в граф второго уровня, который также содержал лишь десятки событий. Это раскрытие вершин можно было продолжать до самых низких уровней управления, выявляя действительную причину задержки.

С точки зрения теории гиперграфов самые нижние сети называются «графами». Следующий уровень называется «гиперграфом 1-го порядка», уровень, следующий за ним – «гиперграфом 2-го порядка» и т.д. Очевидно, в случае системы PERT Высший руководитель рассматривал гиперграф 11-го порядка.

Соответственно, ступени множеств, образованных сотнями или тысячами базисных множеств, могут легко и безошибочно рассматриваться, подобно географической карте, представленной разными масштабами.

Сочетание гиперграфов и М-графов, которое, возможно, следует называть «М-гиперграфами», как средство обеспечения легкости и безошибочности ступеней множеств, образованных сотнями или тысячами базисных множеств, может считаться одной из попыток решения этой проблемы.

Оно также может оказаться полезным средством для упорядочения ступеней одной шкалы множеств. Различные попытки решить эту задачу пока давали лишь частные результаты.